ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 101875
Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку L, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны AB и CD соответственно в точках K и G, а стороны BC и AD соответственно в точках F и M. Докажите, что прямые BM, KD и CL пересекаются в одной точке.


Подсказка

Воспользуйтесь задачей 101874.


Решение

Пусть прямые BM и KD пересекаются в точке N. Проведём через точку N прямые, параллельные сторонам исходного параллелограмма. Пусть прямая, параллельная AB, пересекает стороны BC и AD соответственно в точках P и Q, а вторая прямая – стороны AB и CD соответственно в точках R и S, H – точка пересечения отрезков KG и PQ, E – точка пересечения отрезков RS и MF. Поскольку точка N лежит на диагонали BM параллелограмма ABFM и на диагонали KD параллелограмма AKGD, то  SARNQ = SNPFE  и   SARNQ = SNHGS  (см. задачу 101874). Значит,  SNPFE = SNHGS,  поэтому параллелограммы HPFL и ELGS равновелики. Согласно задаче 101874 точка L лежит на диагонали CN параллелограмма NPCS, то есть прямая CL проходит через точку N.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3221

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .