Информация о задаче

Задача 55009

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 45^o, а угол C — острый. Из середины стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC. Площади треугольников NMC и ABC относятся, как 1:8. Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

${\frac{S_{\Delta NMC}}{S_{\Delta ABC}}}$ = ${\frac{CN}{BC}}$ ^. ${\frac{CM}{AC}}$ .

Решение

Поскольку

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta NMC}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{CN}{BC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CM}{AC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CM}{AC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ ,

то ${\frac{CM}{AC}}$ = ${\frac{1}{4}}$ .

Пусть BK — высота треугольника ABC. Тогда NM — средняя линия треугольника BKC. Поэтому KM = MC и AK = KC, т.е. треугольник ABC — равнобедренный. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ C = 45^o, $\displaystyle \angle$ B = 90^o.

Ответ

45^o, 90^o, 45^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3065