В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше   .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

   Решение

Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Решение

Пусть v(t) и  w(t) — векторы, соединяющие первого пешехода со вторым и третьим в момент t. Ясно, что v(t) = ta + b и  w(t) = tc + d. Пешеходы находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда v(t)|w(t), т. е. v(t) w(t) = 0. Функция f (t) = v(t) w(t) = t²a c + t(a d + b c) + b d является квадратным трехчленом, причем f (0) 0. Квадратный трехчлен, не равный тождественно нулю, имеет не более двух корней.

Источники и прецеденты использования