Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

   Решение

Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров
  а) так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
  б) если некоторые ящики могут оказаться пустыми)?

   Решение

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

   Решение

Тема:    [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ и ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁ имеют равную длину периодов.

Подсказка

1 = 0,999999...

Решение

  Заметим, что сумма двух данных дробей равна 1. Пусть первая дробь имеет десятичную запись 0,a₁a₂a₃... Рассмотрим число R, выраженное десятичной дробью, меньшей 1, у которой на i-м месте после запятой, стоит цифра  9 – a_i.  Тогда в сумме  ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ + R  в каждом разряде после запятой будет стоять 9, то есть  ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ + R = 0,9999... = 1.  Таким образом,  R = ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁.  Теперь видно, что если ab...z – некоторая комбинация цифр, являющаяся периодом дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁, то комбинация цифр  (9 – a)(9 – b)...(9 – z)  есть период дроби ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁. Следовательно, период дроби ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁ не длиннее периода ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁.
  Аналогично показываем, что период дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ не длиннее период дроби ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁. Следовательно, периоды этих двух дробей равны.

Источники и прецеденты использования