На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Взвешивания ] [ Системы счисления (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?
(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)

Решение

  Заметим, что  9⁴ = 6561 > 6543. 

  Если выпустить монеты трёх номиналов – 1, 3 и 4 рубля, то, как легко проверить, с помощью не более чем двух монет можно уплатить без сдачи любую сумму от 1 до 8 рублей.
  Пусть Монетный двор изготовит монеты с номиналами 9^k, 3·9^k и 4·9^k рублей при  k = 0, 1, 2, 3.  Любое число N от 1 до 6560 единственным образом представляется в виде  N = a₃·9³ + a₂·9² + a₁·9 + a₀,  где числа a_k могут принимать значения от 0 до 8. Как показано выше, сумма  a_k·9^k может быть получена не более чем двумя монетами. Таким образом, вся сумма N может быть получена не более чем  4·2 = 8  монетами указанных номиналов.

Ответ

Сможет.

Источники и прецеденты использования