-
Количество и сумма делителей числа
(51 задача)
Функция Эйлера
(24 задачи)
Функция Мебиуса
(1 задача)
Арифметические функции (прочее)
(3 задачи)
Фильтр
Выбрана 1 задача Убрать все задачи
Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
а) Докажите, что при n = 98 первый всегда может выиграть.
б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?
Решение
Задачи
Задача 60763 |
|
|
Пусть (m, n) = 1, а числа x и y пробегают приведённые системы вычетов по модулям m и n соответственно. Докажите, что число A = xn + ym пробегает при этом приведённую систему вычетов по модулю mn. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера (см. задачу 60760).
|
|
Решение |
Задача 60766 |
|
|
По какому модулю числа 1 и 5 составляют приведённую систему вычетов?
|
|
|
Решение |
Задача 60879 |
|
|
Докажите, что если (m, 10) = 1, то у десятичного представления дроби 1/m нет предпериода.
|
|
|
Решение |
Задача 60886 |
|
|
Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите, что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа φ(m).
|
|
|
Решение |
Задача 65441 |
|
|
Отец говорит сыну:
– Сегодня у нас у обоих день рождения, и ты стал ровно в 2 раза моложе меня.
– Да, и это восьмой раз за мою жизнь, когда я моложе тебя в целое число раз.
Сколько лет сыну, если отец не старше 75 лет?
|
|
|
Решение |
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 79]
