Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 153]      

Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

Решение

Пете достаточно проверить, можно ли составить треугольник из двух самых коротких палочек и одной самой длинной. Если треугольник не составляется, то утверждение инструкции опровергнуто. Если же треугольник составить можно, то сумма длин двух самых коротких палочек больше длины самой длинной. Но в этом случае сумма длин двух любых палочек набора длиннее любой другой. (Действительно, сумма длин двух любых не меньше суммы длин самых коротких, а длина любой палочки не больше длины самой длинной.) А это и означает, что из любых палочек можно составить треугольник, т. е. утверждение инструкции доказано.

Ответ

Одна проверка.

Прислать комментарий

Докажите, что шесть ребер любого тетраэдра можно разбить на три пары (a,b), (c,d), (e,f) так, чтобы из отрезков длин a+b, c+d, e+f можно было составить треугольник.

Подсказка

Можно взять три пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Решение

В произвольном тетраэдре ABCD рассмотрим три пары скрещивающихся ребер (AB,CD), (AC,BD), (AD,BC). Докажем, что величины AB+CD, AC+BD, AD+BC удовлетворяют неравенству треугольника. Будем доказывать, например, что AB+CD<AC+BD+AD+BC (два оставшихся неравенства доказываются совершенно аналогично). Запишем неравенства треугольника для треугольников ABC, ABD, ACD, BCD: AB<AC+BC; AB<AD+BD; CD<AC+AD; CD<BC+BD. Складывая эти четыре неравенства, получаем: 2AB+2CD<2AC+2BD+2AD+2BC. Поделив на 2, получаем требуемое.

Прислать комментарий

В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях — 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых всеми школьниками, была наименьшей?

Решение

Возьмем по 50 школьников из Старой Калитвы и Средних Болтаев и разобьем их на 50 пар, в каждую из которых войдет по одному школьнику из каждого города. Для каждой такой пары расстояние, проходимое ей до школы, не зависит от расположения школы (конечно, ее надо строить где-то на дороге между городами), но остались еще 50 школьников из Средних Болтаев. Значит, для минимизации расстояния, проходимого всеми школьниками, школу надо построить в Средних Болтаях.

Ответ

В Средних Болтаях.

Прислать комментарий

В Москве живет 2000 скалолазов, в Санкт-Петербурге и Красноярске — по 500, в Екатеринбурге — 200, а остальные 100 рассеяны по территории России. Где нужно устроить чемпионат России по скалолазанию, чтобы транспортные расходы участников были минимальны?

Решение

Сопоставим каждому скалолазу, живущему не в Москве, по одному москвичу. Каждой такой паре (всего их 1300) все равно, где устраивать чемпионат, на отрезке между Москвой и соответствующим городом. Но остается еще 700 скалолазов-москвичей, которым, конечно, выгоднее устраивать чемпионат в Москве. Значит, там его и нужно устроить.

Ответ

В Москве.

Прислать комментарий

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек.
Докажите, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до всех отмеченных точек будет не меньше 100.

Подсказка

Возьмите две диаметрально противоположные точки. Одна из них будет искомой.

Решение

Пусть A₁, A₂, ... , A₁₀₀ – отмеченные точки, O – центр окружности. Возьмём две диаметрально противоположные точки B и C. По неравенству треугольника  BA_i + CA_i ≥ BC = 2.  Сложив полученные оценки для всех точек A₁, A₂, ..., A₁₀₀, получим  (BA₁ + BA₂ + ... + BA₁₀₀) + (CA₁ + CA₂ + ... + CA₁₀₀) ≥ 200 = 2·100.  Поэтому одна из скобок будет не меньше 100, то есть либо точка B, либо точка C обладает требуемым свойством.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 153]