ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Комбинаторика >> Классическая комбинаторика >> Правило произведения
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)

Вниз   Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = r/4R;
б)  tg($ \alpha$/2)tg($ \beta$/2)tg($ \gamma$/2) = r/p;
в)  cos($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = p/4R.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки.

ВверхВниз   Решение

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

ВверхВниз   Решение

Дан равносторонний треугольник со стороной a. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что abc = 4prR и  ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.

ВверхВниз   Решение

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 9, катет BC равен 3. На гипотенузе взята точка M, причём AM : MB = 1 : 2. Найдите CM.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. Если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется хорошим, иначе – плохим. Каких лабиринтов больше – хороших или плохих?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 157]      

  с решениями  

Задача 98232

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

Прислать комментарий     Решение

Задача 117005

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Правило произведения ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7

Автор: Романов Ф.

На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 117014

Темы:   [ Разрезания (прочее) ]
[ Правило произведения ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7

Автор: Мартынова Н.

Для игры в шляпу Надя хочет разрезать лист бумаги на 48 одинаковых прямоугольников. Какое наименьшее количество разрезов ей придется сделать, если любые куски бумаги можно перекладывать, но нельзя сгибать, а Надя способна резать одновременно сколько угодно слоёв бумаги? (Каждый разрез – прямая линия от края до края куска.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 60396

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Правило произведения ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре О одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент, причем так, чтобы расстояние до точки О увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98398

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Правило произведения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. Если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется хорошим, иначе – плохим. Каких лабиринтов больше – хороших или плохих?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 157]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .