Каталог по темам

Выбрано 6 задач

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.
Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

Решение

Имя входного файла:

numbers.in

Имя выходного файла:

numbers.out

Максимальное время работы на одном тесте:

1 секунда

Максимальный объем используемой памяти:

64 мегабайта

Максимальная оценка за задачу:

100 баллов

Саша считает красивыми числа, десятичная запись которых не содержит других цифр, кроме 0 и k (1 ? k ? 9). Например, если k = 2, то такими числами будут 2, 20, 22, 2002 и т.п. Остальные числа Саше не нравятся, поэтому он представляет их в виде суммы красивых чисел. Например, если k = 3, то число 69 можно представить так: 69 = 33 + 30 + 3 + 3.

Однако, не любое натуральное число можно разложить в сумму красивых целых чисел. Например, при k = 5 число 6 нельзя представить в таком виде. Но если использовать красивые десятичные дроби, то это можно сделать: 6 = 5.5 + 0.5.

Недавно Саша изучил периодические десятичные дроби и начал использовать и их в качестве слагаемых. Например, если k = 3, то число 43 можно разложить так: 43 = 33.(3) + 3.(3) + 3 + 3.(3).

Оказывается, любое натуральное число можно представить в виде суммы положительных красивых чисел. Но такое разложение не единственно - например, число 69 можно также представить и как 69 = 33 + 33 + 3. Сашу заинтересовало, какое минимальное количество слагаемых требуется для представления числа n в виде суммы красивых чисел.

Требуется написать программу, которая для заданных чисел n и k находит разложение числа n в сумму положительных красивых чисел с минимальным количеством слагаемых.

Формат входных данных

Во входном файле записаны два натуральных числа n и k (1 ≤ n ≤ 10⁹; 1≤ k ≤ 9).

Формат выходных данных

В выходной файл выведите разложение числа n в сумму положительных чисел, содержащих только цифры 0 и k, количество слагаемых в котором минимально. Разложение должно быть представлено в виде:

n=a₁+a₂+...+a_m

Слагаемые a₁, a₂, ..., a_m должны быть выведены без ведущих нулей, без лишних нулей в конце дробной части. Запись каждого слагаемого должна быть такой, что длины периода и предпериода дробной части имеют минимально возможную длину. Например, неправильно выведены числа: 07.7; 2.20; 55.5(5); 0.(66); 7.(0); 7. ; .5; 0.33(03). Их следует выводить так: 7.7; 2.2; 55.(5); 0.(6); 7; 7; 0.5; 0.3(30).

Предпериод и период каждого из выведенных чисел должны состоять не более чем из 100 цифр. Гарантируется, что хотя бы одно такое решение существует. Если искомых решений несколько, выведите любое. Порядок слагаемых может быть произвольным.

Выходной файл не должен содержать пробелов.

Примеры

numbers.in	numbers.out
69 3	69=33+33+3
6 5	6=5.5+0.5
10 9	10=9.(9)

Решение

Автор: Берлов С.Л.

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что AP = CQ и четырёхугольник RPBQ– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что RX = RY.

Решение

С помощью одной двусторонней линейки восставьте перпендикуляр к данной прямой l в данной точке A.

Решение

В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором – синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем – лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась? (В каждом пенале лежит ровно три предмета: ручка, карандвш и ластик.)

Решение

Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через f(x, y) номер первой из задач x-го номера за y-й год. Напишите общую формулу для f(x, y), где 1 £ x £ 12 и 1970 £ x £ 1989. Решите уравнение f(x, y) = y.

Например, f(6, 1970) = 26. Начиная с 1989 года, количество задач стало менее предсказуемым. Например, в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других номерах по 10. Да и самих номеров журнала сейчас уже не 12, а 6.

Решение

Задача 109438

Задача 35379

Задача 60468

Задача 109912

Задача 73561