Версия для печати
Убрать все задачи

---

KLMN – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы K и L. Серединные перпендикуляры к сторонам KN и LM пересекаются на стороне KL.
Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

   Решение

---

Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника  — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника  — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

   Решение

---

На кружок пришли дети из двух классов: Ваня, Дима, Егор, Инна, Леша, Саша и Таня. На вопрос: "Сколько здесь твоих одноклассников?" каждый честно ответил "Двое" или "Трое". Но мальчики думали, что спрашивают только про мальчиков-одноклассников, а девочки правильно понимали, что спрашивают про всех. Кто Саша – мальчик или девочка?

   Решение

---

а) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых.
б) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

   Решение

---

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны d₁ и d₂. Какое наибольшее значение может иметь его площадь?

   Решение

---

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и  n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57717

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 3 Классы: 9

Точка X лежит внутри треугольника ABC, = S_BXC, = S_CXA и  = S_AXB. Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора + + равна ( + + )d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57718

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 5 Классы: 9

Выпуклый 2n-угольник A₁A₂...A_2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57719

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 5 Классы: 9

Пусть a₁, a₂, ..., a_{2n + 1} — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂±...±a_{2n + 1} знаки можно выбрать так, что |c|1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109799

Темы:   [ Вспомогательные проекции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57720

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и  n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями