На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC', AB'C и A'BC, причем сумма углов при вершинах A', B' и C' кратна  180^o. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в одной точке.
б) Точки A₁, B₁ и C₁ перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

Прислать комментарий

Решение

На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]