Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}/₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ/₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

   Решение

Даны три точки A, B, C. С помощью циркуля и линейки постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

   Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 333]      

Две окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом, а также касаются некоторой прямой соответственно в точках A и B. На продолжении за точку A радиуса O₁A меньшей окружности отложен отрезок AK, равный O₂B. Докажите, что O₂K – биссектриса угла O₁O₂B.

Прислать комментарий

Решение

Даны три точки A, B, C. С помощью циркуля и линейки постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Прислать комментарий

Решение

Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 120°. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.

Прислать комментарий

Решение

К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 333]