Версия для печати
Убрать все задачи
Дана окружность и точка O на ней. Вторая окружность с центром O пересекает первую в точках P и Q. Точка C лежит на первой окружности, а прямые CP, CQ вторично пересекают вторую окружность в точках A и B. Докажите, что AB = PQ.
Решение
В углу шахматной доски размером n×n полей стоит ладья. При каких n, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за n² ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода.)
Решение
Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?
Решение
Прямоугольник m×n разрезан на уголки:
Докажите, что разность между количеством уголков вида
a и количеством уголков вида
b делится на 3.
Решение
Пусть a1, a2, ..., a10 – натуральные числа, a1 < a2 < ... < a10. Пусть bk – наибольший делитель ak, меньший ak. Оказалось, что b1 > b2 > ... > b10.
Докажите, что a10 > 500.
Решение
На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается
дописать еще одно натуральное число - разность любых двух
имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Решение
Фильтр
