Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]

Задача 78544

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58106

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости дано n фигур. Пусть S_{i₁...i_k} – площадь пересечения фигур с номерами i₁, ..., i_k, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; M_k – сумма всех чисел S_{i₁...i_k}. Докажите, что:
а) S = M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{n + 1}M_n;
б) S ≥ M₁ - M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m при m чётном и
S ≤ M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m при m нечётном.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60445

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109702

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий

Решение

Задача 103971

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
Темы:	[	Формула включения-исключения	]

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]