Каталог по темам

Выбрано 6 задач

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения bx² – abx – a = 0, где a и b – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.
б) Верно ли обратное утверждение?

Решение

Доказать, что для любых чисел a₁, ..., a₁₉₈₇ и положительных чисел b₁,..., b₁₉₈₇ справедливо неравенство

≤

+ ... +

Решение

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках М и N так, что АВ – биссектриса треугольника МАN. Докажите, что отношение отрезков ВМ и BN равно отношению радиусов окружностей.

Решение

Автор: Волчкевич М.А.

Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что PA = PD.

Решение

Автор: Федоров А.

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Решение

На плоскости провели N окружностей. Требуется определить площадь их пересечения.

Входные данные
В первой строке входного файла находится целое число N (1 ≤ N ≤ 20). В каждой из последующих N строк записана тройка вещественных чисел, описывающих очередную из окружностей. Первые два числа задают координаты ее центра, третье – радиус.

Выходные данные
Выведите в выходной файл искомую площадь не менее чем с 6 верными значащими цифрами.

Пример входного файла
2
0 0 1
1 1 1

Пример выходного файла
0.570796

Решение

Задача 102936