ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Комбинаторика >> Числа Каталана
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $ \pi$.

Вниз   Решение

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

  с решениями  

Задача 60449

 [Маршруты ладьи]
Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60450

 [Очередь в кассу]
Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60452

 [Рекуррентное соотношение для чисел Каталана]
Тема:   [ Числа Каталана ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению   Cn = C0Cn–1 + C1Cn–2 + ... + Cn–1C0.
Определение чисел Каталана Cn смотри в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32082

Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60447

Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Сколько последовательностей  {a1, a2, ..., a2n},  состоящих из единиц и минус единиц, обладают тем свойством, что  a1 + a2 + ... + a2n = 0,  а все частичные суммы  a1,  a1 + a2,  ...,  a1 + a2 + ... + a2n  неотрицательны?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .