а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые BC, CA и AB. Докажите, что  PC₁² = PA₁ ^. PB₁ и PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры  OA', OB', OC' на стороны треугольника ABC и перпендикуляры  OA'', OB'', OC'' на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что  OA' ^. OB' ^. OC' = OA'' ^. OB'' ^. OC''.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

Можно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?

Прислать комментарий

Решение

Многоугольник можно разрезать на две равные части тремя различными способами.
Верно ли, что у него обязательно есть центр или ось симметрии?

Прислать комментарий

Решение

Верны ли утверждения:
  а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.

Прислать комментарий

Решение

Середины соседних сторон выпуклого многоугольника соединены отрезками. Докажите, что периметр многоугольника, образованного этими отрезками, не меньше половины периметра исходного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]