Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]

Задача 65328

Тема:

[

Теория множеств (прочее)

]

Сложность: 2
Классы: 8,9,10,11

Аня ждёт автобус. Какое событие имеет наибольшую вероятность?
А = {Аня ждёт автобус не меньше минуты},
В = {Аня ждёт автобус не меньше двух минут},
С = {Аня ждёт автобус не меньше пяти минут}.

Решение

Событие A включает в себя событие B, а событие B включает в себя событие C, то есть событие A наиболее обширное: C ⊂ B ⊂ A. Следовательно,
P(C) ≤ P(B) ≤ P(A).

Ответ

Событие A.

Прислать комментарий

Задача 60434

Тема:

[

Теория множеств (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Пусть имеется n подмножеств A₁, ..., A_n конечного множества E и $\chi_{j}^{}$ (x) — характеристические функции этих множеств, то есть

$\displaystyle \chi_{j}^{}$ (x) = $\begin{displaymath}\begin{cases} 1,& x\in A_j,\\ 0,& x\in E\setminus A_j \end{cases}\end{displaymath}$ (j = 1,..., n).

Докажите, что при этом $\chi$ (x) — характеристическая функция множества A = A₁ $\cup$ ... $\cup$ A_n, связана с функциями $\chi_{1}^{}$ (x), ..., $\chi_{n}^{}$ (x) формулой

1 - $\displaystyle \chi$ (x) = (1 - $\displaystyle \chi_{1}^{}$ (x))...(1 - $\displaystyle \chi_{n}^{}$ (x)).

Прислать комментарий

Задача 111643

Темы:	[	Теория множеств (прочее)	]
Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробок нет). Известно, что в разных коробках разное число карандашей, причём в каждой коробке все карандаши разных цветов. Докажите, что из каждой коробки можно выбрать по карандашу так, что все они будут разных цветов.

Решение

Расположим коробки по возрастанию количества карандашей. Заметим, что в n-й коробке лежит не меньше n карандашей (не менее чем n цветов). Из первой коробки возьмём любой карандаш, из второй – карандаш другого цвета, из третьей – карандаш третьего цвета (отличного от первых двух) и т.д.

Прислать комментарий

Задача 32793

Тема:

[

Теория множеств (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- волшебники?

Решение

Сначала немного переформулируем условия задачи. Итак, нам известны два утверждения:
1) По крайней мере один маг не является чародеем;
2) Если маг - также и волшебник, то он является и чародеем.
Посмотрим теперь на любого мага, не являющегося чародеем (такой существует из 1-го условия). Если бы он был еще и волшебником, то по 2-му условию он был бы и чародеем, но он не чародей, значит, он и не волшебник. Следовательно, не все маги являются волшебниками.

Ответ

Да, правда.

Прислать комментарий

Задача 65697

Темы:	[	Теория множеств (прочее)	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

Решение

Предъявим примеры, как такое могло произойти.

Первый пример. Выстроим учеников по кругу. Предположим, что к каждому на день рождения пришли все одноклассники, кроме следующего за ним по часовой стрелке. Тогда каждые два ученика A и B встретились на всех празднованиях, кроме двух: того, на которое не пришёл A, и того, на которое не пришёл B. Значит, каждая пара учеников встретилась 21 раз.

Второй пример. Выделим из класса двух учеников A и B. Пусть на день рождения к A пришли все одноклассники, кроме B, на день рождения к B пришёл только A, а на остальные дни рождения приходил только B. Тогда каждая пара, в которой нет B, встретилась только на дне рождения A, а все пары, содержащие B, встречались ровно по разу на остальных празднованиях. Итого, каждая пара встретилась ровно по разу.

Ответ

Могло.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]