Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 330]

Задача 56672

Тема:

[

Касающиеся окружности

]

Сложность: 2
Классы: 8

Две окружности касаются в точке A. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B. Докажите, что $\angle$ CAB = 90^o.

Решение

Пусть M — точка пересечения прямой CB и касательной к окружностям в точке A. Тогда MC = MA = MB (равенство отрезков касательных). Поэтому точка A лежит на окружности с диаметром CB.

Прислать комментарий

Задача 56673

Тема:

[

Касающиеся окружности

]

Сложность: 2
Классы: 8

Две окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ касаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S₁ в точке A₁ и S₂ в точке A₂. Докажите, что O₁A₁ || O₂A₂.

Решение

Точки O₁, A и O₂ лежат на одной прямой, поэтому $\angle$ A₂AO₂ = $\angle$ A₁AO₁. Треугольники AO₂A₂ и AO₁A₁ равнобедренные, поэтому $\angle$ A₂AO₂ = $\angle$ AA₂O₂ и $\angle$ A₁AO₁ = $\angle$ AA₁O₁. Следовательно, $\angle$ AA₂O₂ = $\angle$ AA₁O₁, т. е. O₁A₁ || O₂A₂.

Прислать комментарий

Задача 77971

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 2+
Классы: 9

Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

Решение

Пусть A, B, C — точки касания, A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей, причём точки A, B и C лежат на отрезках B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ соответственно. Тогда A₁B = A₁C, B₁A = B₁C и C₁A = C₁B. Из этого следует, что A, B и C — точки касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ с его сторонами. Действительно, пусть A₁B = A₁C = x, B₁A = B₁C = y и C₁A = C₁B = z. Тогда, например, x = ${\frac{A_1B_1+A_1C_1-B_1C_1}{2}}$ и для точек касания вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ со сторонами A₁B₁ и A₁C₁ такое соотношение тоже выполняется. В результате получаем, что радиусы A₁B, B₁C и C₁A данных окружностей касаются описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Задача 56655

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.

Решение

См. решение задачи 52700.

Ответ

2 $\sqrt{rR}$ .

Прислать комментарий

Задача 52590

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Три равных круга радиуса R касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого служат точки касания.

Подсказка

Рассмотрите равносторонний треугольник с вершинами в центрах окружностей.

Решение

Рассмотрим равносторонний треугольник с вершинами в центрах окружностей. Его стороны равны 2R. Стороны искомого треугольника являются его средними линиями, поэтому равны R.

Ответ

R, 60^o, 60^o, 60^o.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 330]