Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что при умножении многочлена  (x + 1)^n–1  на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.

   Решение

---

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78544

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Функция Эйлера ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58106

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перегруппировка площадей ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости дано n фигур. Пусть S_i1...ik – площадь пересечения фигур с номерами i₁, ..., i_k, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; M_k – сумма всех чисел S_i1...ik. Докажите, что:
  а)  S = M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{n + 1}M_n;
  б)  S ≥ M₁ - M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m   при m чётном и
       S ≤ M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m   при m нечётном.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60445

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;
  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109702

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Процессы и операции ] [ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103971

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 2- Классы: 5,6,7

В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями