У Васи есть 13 одинаковых на вид гирь, но 12 из них весят одинаково, а одна фальшивая – весит больше остальных. Также у него есть двое чашечных весов – одни правильные, а другие показывают верный результат (какая чаша тяжелее), если массы на чашах различаются, а в случае равенства могут показать что угодно (какие именно весы правильные, Вася не знает). Перед каждым взвешиванием Вася может сам выбирать весы. Докажите, что Вася может гарантированно найти фальшивую гирю за 3 взвешивания.

   Решение

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0,  то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

В окружность вписаны равнобедренные трапеции ABCD и  A₁B₁C₁D₁ с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что AC = A₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Из точки M, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры MP и MQ на диаметры AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки M.

Прислать комментарий

Решение

Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAC = MCD = . Найдите величину угла ABM.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a, b, c, d — комплексные числа, причем углы a0b и c0d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда abcd = 0.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если треугольники abc и a'b'c' на комплексной плоскости собственно подобны, то

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]