Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 54]

Задача 110205 (#06.4.11.7)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Козлов П.

Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110206 (#06.4.11.8)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Раскраски	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

Прислать комментарий Решение

Задача 109850 (#06.5.9.1)

Темы:	[	Шахматная раскраска	]
	[	Ломаные	]
	[	Ломаные внутри квадрата	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109851 (#06.5.9.2)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Берлов С.Л., Богданов И.И.

Докажите, что найдутся четыре таких целых числа a, b, c, d, по модулю больших 1000000, что ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c + ¹/_d = ¹/_abcd.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109852 (#06.5.9.3)

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Раскраски	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Системы точек	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 54]