Версия для печати
Убрать все задачи

---

В пространстве дан треугольник ABC и сферы S₁ и S₂, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S₁, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S₂ вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A₁, B₁ и C₁, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.

   Решение

---

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  n – 1  врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78545  (#1)

Темы:   [ Неравенства с векторами ] [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78538  (#2)

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Доказать, что любое чётное число 2n 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78546  (#3)

Темы:   [ Теорема Птолемея ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Площадь треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78547  (#4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Длины сторон (неравенства) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78548  (#5)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  n – 1  врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями