Версия для печати
Убрать все задачи

---

Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвертое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?

   Решение

---

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

   Решение

---

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78280  (#1)

Темы:   [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны два пересекающихся отрезка AС и BD. На этих лучах выбираются точки M и N (соответственно) так, что AM = BN. Найти положение точек M и N, при котором длина отрезка MN минимальна (сравните с задачей 1 для 10 класса).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78281  (#2)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Конём называется фигура, ход которой состоит в перемещении на n клеток по горизонтали и на 1 по вертикали (или наоборот). Конь стоит на некотором поле бесконечной шахматной доски. При каких n он может попасть на любое заданное поле?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78276  (#3)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78282  (#4)

Тема:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дана система уравнений:
   
Какие значения может принимать x₂₅?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78283  (#5)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 1962.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями