Версия для печати
Убрать все задачи

---

В угол вписана окружность с центром O. Через точку A, симметричную точке O относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки A стороной угла – B и C. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе данного угла.

   Решение

---

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

   Решение

---

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладётся в её конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите  а) наименьшее такое число,  б) все такие числа.

   Решение

---

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  p + n^2k  ни при каких простых p и целых n и k.

   Решение

---

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 77932

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

При делении многочлена  x¹⁹⁵¹ – 1  на  x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при x¹⁴.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77934

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77936

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Окружность обладает тем свойством, что внутри неё можно двигать правильный треугольник так, чтобы каждая вершина треугольника описывала эту окружность. Найти замкнутую несамопересекающуюся кривую, отличную от окружности, внутри которой также можно двигать правильный треугольник так, чтобы каждая его вершина описывала эту кривую.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77935

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип Дирихле ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Автобусный маршрут содержит 14 остановок (считая две конечные). В автобусе одновременно могут ехать не более 25 пассажиров. Доказать, что во время поездки автобуса из одного конца в другой
  a) найдутся восемь таких различных остановок A₁, B₁, A₂, B₂, A₃, B₃, A₄, B₄, что ни один пассажир не едет от A₁ до B₁, ни один пассажир не едет от A₂ до B₂, ни один пассажир не едет от A₃ до B₃ и ни один пассажир не едет от A₄ до B₄;

  б) может оказаться, что пассажиры едут таким образом, что не существует десяти различных остановок A₁, B₁, A₂, B₂, A₃, B₃, A₄, B₄, A₅, B₅, которые обладали бы аналогичными свойствами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями