Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 3]

Задача 73701 (#М166)

Темы:	[	Задачи на проценты и отношения	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10

а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ⅖ общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше ⅖. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше ⁴/₇ общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе.

б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ k ≤ n, мальчики составляли α_k-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73702 (#М167)

Темы:	[	Теорема Эйлера	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Пойа Дж.

В любой арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73704 (#М169)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть k и n – натуральные числа, k ≤ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]