Версия для печати
Убрать все задачи
Четырехзначное число начинается с цифры 6. Эту цифру переставили в конец числа.
Полученное число оказалось на 1152 меньше исходного. Найдите исходное число.
Решение
Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные
расстояния между которыми все больше 1.
Решение
На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится в промежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если ее впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7.
Например, все числа 259, 2569, 25669, 256669, ..., а также 2359, 23359, 233359, ... делятся на 7.
Решение
Доказать, что для любого целого
d найдутся такие целые
m,
n, что
d =
.
Решение
Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.
Решение
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше
n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во
второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа
k £ n сумма
k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме
k-х степеней всех чисел второго множества.
Решение
Фильтр
