Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне CD ромба ABCD нашлась такая точка K, что  AD = BK.  Пусть F – точка пересечения диагонали BD и серединного перпендикуляра к стороне BC. Докажите, что точки A, F и K лежат на одной прямой.

   Решение

---

В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64995  (#8.2.3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Доказательство от противного ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64996  (#8.3.1)

Темы:   [ Средние величины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64997  (#8.3.2)

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64998  (#8.3.3)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64999  (#8.4.1)

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Три числа x, y и z отличны от нуля и таковы, что  x² – y² = yz  и  y² – z² = xz.  Докажите, что  x² – z² = xy.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями