Версия для печати
Убрать все задачи

---

При каких натуральных  n > 1  найдутся такие различные натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n, что сумма   ^a₁/_a2 + ^a₂/_a3 + ^a_n/_a1   – целое число?

   Решение

---

В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

   Решение

---

а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
б) Что можно сказать в случае десятиугольника?

   Решение

---

Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

   Решение

---

Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2009, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников.
Докажите, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64314  (#7.6)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Степень вершины ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

В шахматном турнире каждый из восьми участников сыграл с каждым. В случае ничьей (и только в этом случае) партия ровно один раз переигрывалась и результат переигровки заносился в таблицу. Барон Мюнхгаузен утверждает, что в итоге два участника турнира сыграли по 11 партий, один – 10 партий, три – по 8 партий и два – по 7 партий. Может ли он оказаться прав?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64315  (#7.7)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Почтальон Печкин не хотел отдавать посылку. Тогда Матроскин предложил ему сыграть в следующую игру: каждым ходом Печкин пишет в строку слева направо буквы, произвольно чередуя М и П, пока в строке не будет всего 11 букв. Матроскин после каждого его хода, если хочет, меняет местами любые две буквы. Если в итоге окажется, что записанное слово является палиндромом (то есть одинаково читается слева направо и справо налево), то Печкин отдаёт посылку. Сможет ли Матроскин играть так, чтобы обязательно получить посылку?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64316  (#7.8)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2009, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников.
Докажите, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64317  (#7.9)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Необычные конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Сеть автобусных маршрутов в пригороде Амстердама устроена так, что:
  а) на каждом маршруте есть ровно три остановки;
  б) каждые два маршрута либо вовсе не имеют общих остановок, либо имеют только одну общую остановку.
Какое наибольшее количество маршрутов может быть в этом пригороде, если в нём всего 9 остановок?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями