Версия для печати
Убрать все задачи

---

За круглым столом заседают N рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней: тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания?
(Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)

   Решение

---

Докажите неравенство  (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc  для положительных значений переменных.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61367  (#10.016)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите неравенство  x^αy^β ≤ αx + βy  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61368  (#10.017)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²b² + b²c² + a²c² ≥ abc(a + b + c).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61369  (#10.018)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите неравенство  (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc  для положительных значений переменных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61370  (#10.019)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите неравенство   (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²)  при  a, b, c, d ∈ [0, 1].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61371  (#10.020)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями