Версия для печати
Убрать все задачи

---

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина  S₁ : S?

   Решение

---

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

   Решение

---

Для всех действительных x и y выполняется равенство  f(x² + y) = f(x) + f(y²).  Найдите  f(–1).

   Решение

---

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

   Решение

---

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K. Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P. Оказалось, что  AK = AP.
Найдите отношение  BK : PM.

   Решение

---

На доске написано число 8ⁿ. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если  n = 2001?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60800  (#04.174)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Какие цифровые корни (см. задачу 60794) бывают у полных квадратов и полных кубов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60801  (#04.175)

Тема:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Два числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Чему равен цифровой корень (см. задачу 60794) числа  a – b?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60802  (#04.176)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что если  n > 6  – чётное совершенное число, то его цифровой корень (см. задачу 60794) равен 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60803  (#04.177)

Тема:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На доске написано число 8ⁿ. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если  n = 2001?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60804  (#04.178)

Тема:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Докажите ошибочность следующих записей:
  а)  4237·27925 = 118275855;
  б)  42971064 : 8264 = 5201;
  в)  1965² = 3761225;
  г)   = 23.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями