Версия для печати
Убрать все задачи

---

Номер автомашины состоит из трёх букв русского алфавита (используется 30 букв) и трёх цифр: сначала идет буква, затем три цифры, а затем еще две буквы. Сколько существует различных номеров автомашин?

   Решение

---

В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что  BM·CN > KM·KN.

   Решение

---

Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?

   Решение

---

  а) Пусть  {a₁, a₂,..., a_n}  – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n},  {a₂, ..., a_n, a₁},  ...,  {a_n, a₁, ..., a_n–1}  все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

  б) Выведите отсюда равенства:      где  (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2)  – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
  Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60447  (#02.113)

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Сколько последовательностей  {a₁, a₂, ..., a_2n},  состоящих из единиц и минус единиц, обладают тем свойством, что  a₁ + a₂ + ... + a_2n = 0,  а все частичные суммы  a₁,  a₁ + a₂,  ...,  a₁ + a₂ + ... + a_2n  неотрицательны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60448  (#02.114)

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Сколько существует способов разрезать выпуклый (n+2)-угольник диагоналями на треугольники?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60449  (#02.115)  [Маршруты ладьи]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60450  (#02.116)  [Очередь в кассу]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60451  (#02.117)  [Формула для чисел Каталана]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Комбинаторика орбит ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

  а) Пусть  {a₁, a₂,..., a_n}  – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n},  {a₂, ..., a_n, a₁},  ...,  {a_n, a₁, ..., a_n–1}  все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

  б) Выведите отсюда равенства:      где  (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2)  – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
  Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями