Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что  f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)|  при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

   Решение

---

Упростите выражение:  .

   Решение

---

Многоугольник M' гомотетичен многоугольнику M с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник M' внутрь многоугольника M.

   Решение

---

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x4 + 4;	ж) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3;
б) 2x3 + x2 + x – 1;	з) (x – y)5 + (y - z)5 + (z – x)5;
в) x10 + x5 + 1;	и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;
г) a3 + b3 + c3 – 3abc;	к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;
д) x3 + 3xy + y3 – 1;	л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2;
е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1;	м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

   Решение

---

В мешке 70 шаров, отличающихся только цветом: 20 красных, 20 синих, 20 жёлтых, остальные – чёрные и белые.
Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60351  (#02.017)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Докажите, что среди москвичей есть два человека с равным числом волос, если известно, что у любого человека на голове менее одного миллиона волос.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60352  (#02.018)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

В мешке 70 шаров, отличающихся только цветом: 20 красных, 20 синих, 20 жёлтых, остальные – чёрные и белые.
Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60353  (#02.019)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Некоторые точки из данного конечного множества соединены отрезками. Докажите, что найдутся две точки, из которых выходит поровну отрезков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60354  (#02.020)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Имеется  2k + 1  карточек, занумерованных числами от 1 до  2k + 1.  Какое наибольшее число карточек можно выбрать так, чтобы ни один из извлечённых номеров не был равен сумме двух других извлечённых номеров?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60355  (#02.021)

Тема:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями