ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

Вниз   Решение


На белых и чёрных клетках доски 10×10 стоит по одинаковому количеству ладей так, что никакие две ладьи друг друга не бьют.
Докажите, что на эту доску можно поставить еще одну ладью так, чтобы она не била никакую из уже стоящих.

ВверхВниз   Решение


Продолжения сторон выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A и C, B и D, P и Q лежат на одной прямой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 60]      



Задача 57792  (#14.041B2)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прямая l проходит через точку X с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$). Пусть da, db, dc — расстояния от вершин A, B, C до прямой l с учетом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой l, знаки разные). Докажите, что da$ \alpha$ + db$ \beta$ + dc$ \gamma$ = 0.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57793  (#14.041B3)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Прямая l касается вписанной окружности треугольника ABC. Пусть $ \delta_{a}^{}$, $ \delta_{b}^{}$, $ \delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что a$ \delta_{a}^{}$ + b$ \delta_{b}^{}$ + c$ \delta_{c}^{}$ = 2SABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57794  (#14.041B4)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Прямая l касается вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC. Пусть $ \delta_{a}^{}$, $ \delta_{b}^{}$, $ \delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вневписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что - a$ \delta_{a}^{}$ + b$ \delta_{b}^{}$ + c$ \delta_{c}^{}$ = 2SABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57795  (#14.041B5)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Пусть dab и dac — расстояния от вершин B и C до прямой la, касающейся внешним образом окружностей Sb и Sc (и отличной от прямой BC); числа dbc и dba, dcb и dca определяются аналогично. Докажите, что dabdbcdca = dacdbadcb.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57796  (#14.039)

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Продолжения сторон выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A и C, B и D, P и Q лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 60]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .