Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.

   Решение

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;
  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

   Решение

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

   Решение

На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P₁,..., P_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что | +...+ |1.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P₁,..., P_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что | +...+ |1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a₁,a₂,...,a_n — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂...±a_n можно выбрать знаки так, что |c|.

Прислать комментарий

Решение

Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]