Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 103]

Задача 57344 (#09.039)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что a/ $\alpha$ + b/ $\beta$ + c/ $\gamma$ $\geq$ 3/2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57345 (#09.040)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны S и S₁, причем треугольник ABC не тупоугольный. Наибольшее из отношений a₁/a, b₁/b и c₁/c равно k. Докажите, что S₁ $\leq$ k²S.

Прислать комментарий Решение

Задача 57346 (#09.041)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 4
Классы: 9

а) Точки B, C и D делят (меньшую) дугу AE окружности на четыре равные части. Докажите, что S_ACE < 8S_BCD.
б) Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности. Через середину D (меньшей) дуги BC проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Докажите, что S_BCD < 2S_MAN.

Прислать комментарий Решение

Задача 57347 (#09.042)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 5
Классы: 9

Все стороны выпуклого многоугольника отодвигаются во внешнюю сторону на расстояние h. Докажите, что его площадь при этом увеличится больше чем на Ph + $\pi$ h², где P — периметр.

Прислать комментарий Решение

Задача 79363 (#09.043)

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 103]