Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 5. Треугольники
>>
параграф 9. Прямая Симсона
Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
Решение
Четырехугольник ABCD вписан в окружность; la — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые lb, lc и ld определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Решение
а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
Решение
Убрать все задачи
Выведите из неравенства Мюрхеда (задача 61424) неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.
РешениеВысоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
РешениеЧетырехугольник ABCD вписан в окружность; la — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые lb, lc и ld определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Решениеа) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]
Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром O.
Стороны треугольника A1B1C1 параллельны прямым PA, PB,
PC (
PA| B1C1 и т. д.). Через вершины треугольника
A1B1C1 проведены прямые, параллельные сторонам треугольника
ABC.
а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке P1, которая лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1.
б) Докажите, что прямая Симсона точки P1 параллельна прямой OP.
Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC
перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P
относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона
точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность; la — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD,
прямые lb, lc и ld определяются аналогично. Докажите, что
эти прямые пересекаются в одной точке.
а) Докажите, что проекции точки P описанной
окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона
треугольников
BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая
Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]
Задача 56944 |
|
|
а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке P1, которая лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1.
б) Докажите, что прямая Симсона точки P1 параллельна прямой OP.
|
|
Решение |
Задача 56945 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56946 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56947 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56948 |
|
|
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]
