Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 209]

Задача 60698 (#04.072)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Целые числа a, b и c таковы, что a³ + b³ + c³ делится на 7. Докажите, что abc делится на 7.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60699 (#04.073)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите остаток от деления на 17 числа 2¹⁹⁹⁹ + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60700 (#04.074)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В задаче 60477 были определены числа Евклида. Встретится ли каждое простое число в качестве сомножителя некоторого числа Евклида e_n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60701 (#04.075)

Темы:	[	Целочисленные треугольники	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что
а) длина одного из катетов кратна 3,
б) длина одной из трёх сторон делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30605 (#04.076)

Темы:	[	Деление с остатком	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Обозначим через k произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел.
Докажите, что число а) k – 1; б) k + 1 не является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 209]