Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]

Задача 78787

Темы:	[	Целочисленные решетки	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.

Прислать комментарий Решение

Задача 78786

Тема:

[

Процессы и операции

]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Ковтун Р.М.

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Прислать комментарий Решение

Задача 78789

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дано 29-значное число X = a₁...a₂₉ (0 ≤ a_k ≤ 9, a₁ ≠ 0). Известно, что для всякого k цифра a_k встречается в записи данного числа a_30–k раз (например, если a₁₀ = 7, то цифра a₂₀ встречается семь раз). Найти сумму цифр числа X.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78783

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pⁿ, где p – простое число, n = 0, 1, 2, 3, ... (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78798

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x₁, x₂, ..., x_n, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]