Каталог по источникам

Выбрано 3 задачи

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

Решение

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x⁴ + 4;	ж) (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³;
б) 2x³ + x² + x – 1;	з) (x – y)⁵ + (y - z)⁵ + (z – x)⁵;
в) x¹⁰ + x⁵ + 1;	и) a⁸ + a⁶b² + a⁴b⁴ + a²b⁶ + b⁸;
г) a³ + b³ + c³ – 3abc;	к) (x² + x + 1)² + 3x(x² + x + 1) + 2x²;
д) x³ + 3xy + y³ – 1;	л) a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² – 2a²c² – 2b²c²;
е) x²y² – x² + 4xy – y² + 1;	м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

Решение

Автор: Богданов И.И.

В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки K и L так, что AK = BL, а на стороне BC — точки M и N так, что CN = BM. Докажите, что KN + LM ≥ AC.

Решение

Задача 78668