Версия для печати
Убрать все задачи

---

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

   Решение

---

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.

а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна?

б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2.

в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей s.

   Решение

---

Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 10 в ряд так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60764  (#04.138)

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть    Докажите равенство   φ(n) = n(1 – ¹/_p1)...(1 – ¹/_ps).
  а) пользуясь мультипликативностью функции Эйлера;
  б) пользуясь формулой включения-исключения.
Определение функции Эйлера φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60765  (#04.139)

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Решите уравнения   а)  φ(x) = 2;   б)  φ(x) = 8;   в)  φ(x) = 12;   г)  φ(x) = 14.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60766  (#04.140)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

По какому модулю числа 1 и 5 составляют приведённую систему вычетов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60767  (#04.141)

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Решите уравнения   а)  φ(x) = ^x/₂;   б)  φ(x) = ^x/₃;    φ(x) = ^x/₄.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60768  (#04.142)

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для каких n возможны равенства:   a)  φ(n) = n – 1;   б)  φ(2n) = 2φ(n);   в)  φ(n^k) = n^k–1φ(n)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями