Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что  ABP = CAP = BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники  CA₁B, CAB₁ и C₁AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Прислать комментарий

Решение

а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что  ABC = B₁C₁A₁.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)

Прислать комментарий

Решение

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  = ABP = BCP = CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg = ctg + ctg + ctg.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит  30^o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит  30^o.

Прислать комментарий

Решение

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A₁, B₁ и C₁ — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  A₁B₁C₁ ABC и O — первая точка Брокара треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]