ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 31. Эллипс, парабола, гипербола >> параграф 2. Эллипс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2,  en = e1e2...en–1 + 1  (n ≥ 2).  Все ли числа en являются простыми?

Вниз   Решение

Улитка ползёт с непостоянной скоростью. Несколько человек наблюдало за ней по очереди в течение 6 минут. Каждый начинал наблюдать раньше, чем кончал предыдущий, и наблюдал ровно 1 минуту. За эту минуту улитка проползла ровно 1 м. Доказать, что за все 6 минут улитка могла проползти самое большее 10 м.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ивлев Б.М.

В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки  +  и  – ,   как показано на рисунке.

Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 23]      

  с решениями  

Задача 58493  (#31.026)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Окружность радиуса r с центром C, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках; O — центр эллипса, a и b — его полуоси. Докажите, что

OC2 = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58494  (#31.027)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Три окружности, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса r2 касается (внешним образом) окружностей радиуса r1 и r3. Докажите, что

r1 + r3 = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$r2.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58495  (#31.028)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

N окружностей, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса ri (2 $ \leqslant$ i $ \leqslant$ N - 1) касается окружностей радиуса ri - 1 и ri + 1. Докажите, что если 3n - 2 > N, то

r2n - 1(r1 + r2n - 1) = rn(rn + r3n - 2).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 23]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .