Задача 35562

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого  P(6) = 5  и  P(14) = 9.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой Безу для целочисленных многочленов.

Решение

  Теорема Безу для целочисленных многочленов. Для любого многочлена P(x) с целыми коэффициентами и любых различных целых чисел a и b число
P(a) – P(b)  делится на  a – b.
  Доказательство. Разность  P(a) – P(b)  представляет собой сумму выражений вида  a^k – b^k  с целыми коэффициентами. Как известно,  a^k – b^k  делится на
a – b.

  Если бы существовал многочлен P(x), о котором идет речь в условии задачи, то разность  P(14) – P(6) = 9 – 5 = 4  делилась бы на  14 – 6 = 8,  что неверно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача