Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64776

Темы:   [ Гомотетичные многоугольники ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы     из этих k-угольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66927

Темы:   [ Теорема Паскаля ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108225

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109820

Темы:   [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P₁ , P₂ , P12 , ребра которых параллельны координатным осям Ox , Oy , Oz так, чтобы P₂ пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P₁ и P₃ , P₃ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P₂ и P₄ , и т.д., P12 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11 и P₁ , P₁ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12 и P₂ ? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 37000

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями