|
|
 |
Условие
а) На две клетки шахматной доски выставляются чёрная и белая фишки. Разрешается по очереди передвигать их, каждым ходом сдвигая очередную фишку на любое свободное соседнее поле по вертикали или горизонтали. Могут ли на доске в результате таких ходов встретиться все возможные позиции расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
б) А если разрешается сдвигать фишки в любом порядке (не обязательно по очереди)?
Решение
а) Предположим, что все расположения встретились по одному разу. Рассмотрим клетку А, которая была свободной в начальный и конечный момент. Существуют ровно 63 расположения (назовём их особыми), в которых белая фишка стоит на этой клетке, а чёрная – на любой из оставшихся. С другой стороны, при обходе все особые расположения встречались попарно (такое расположение возникало, когда белая фишка становилась на клетку А, и оставалось таким после следующего хода чёрной фишки). Значит, их количество чётно. Противоречие.
б) См. задачу 105112.
Ответ
Не может.
Замечания
баллы: 3 + 4
