ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98466
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Средние величины ]
[ Неравенства с углами ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что у выпуклого 10n-гранника найдётся n граней с одинаковым числом сторон.


Решение

  Заметим, что среднее значение плоского угла при каждой вершине многогранника меньше 120° (действительно, в каждой вершине сходится не меньше трёх углов, а их сумма меньше 360°). Следовательно, среднее значение всех плоских углов многогранника тоже меньше 120°. Для каждого плоского угла рассмотрим смежный угол. Его среднее значение больше 60°.
  Cумма же всех этих внешних углов равна 10n·360°. Следовательно, их количество меньше 60n.
  Предположим теперь, что при каждом k количество k-угольных граней не превосходит n. Расположим все грани в ряд по возрастанию числа сторон и разобьём этот ряд на группы по n штук. В первой группе все грани имеют не менее трёх сторон, во второй – не менее четырёх и т. д. Поэтому количество (внешних) углов всех многоугольников не меньше  3n + 4n + 5n + ... + 12n = 75n.  Противоречие.

Замечания

1. Доказано более сильное утверждение: найдётся более n граней с одинаковым числом сторон.

2. Практически дословно повторив рассуждения, можно доказать, что
  у выпуклого 7n-гранника найдётся более n граней с одинаковым числом сторон.

3. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .