|
|
 |
Условие
Докажите, что у выпуклого 10n-гранника найдётся n граней с одинаковым числом сторон.
Решение
Заметим, что среднее значение плоского угла при каждой вершине многогранника меньше 120° (в каждой вершине сходится не меньше трёх углов, а их сумма меньше 360°). Следовательно, среднее значение всех плоских углов многогранника тоже меньше 120°. Для каждого плоского угла рассмотрим смежный угол. Его среднее значение больше 60°.
Cумма же всех этих внешних углов равна 10n·360°. Следовательно, их количество меньше 60n.
Предположим теперь, что при каждом k количество k-угольных граней не превосходит n. Расположим все грани в ряд по возрастанию числа сторон и разобьём этот ряд на группы по n штук. В первой группе все грани имеют не менее трёх сторон, во второй – не менее четырёх и т. д. Поэтому количество (внешних) углов всех многоугольников не меньше 3n + 4n + 5n + ... + 12n = 75n. Противоречие.
Замечания
1. Доказано более сильное утверждение: найдётся более n граней с одинаковым числом сторон.
2. Практически дословно повторив рассуждения, можно доказать, что
у выпуклого 7n-гранника найдётся более n граней с одинаковым числом сторон.
3. 8 баллов.
