Задача 87593

Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.

Решение

Докажем, что указанная сумма равна 90^o . Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и не параллельна этой плоскости. Через точку A данной плоскости α проведём прямую l1 , параллельную данной прямой l , и прямую p1 , параллельную данной прямой p , перпендикулярной плоскости α . Через пересекающиеся прямые l1 и p1 проведём плоскость β . Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой m , проходящей через точку A . Пусть n – произвольная прямая плоскости α , перпендикулярная прямой m . Тогда прямая n перпендикулярна двум пересекающимся прямым p1 и m плоскости β . Значит, m β . Из произвольной точки B , отличной от A и лежащей на прямой l1 , опустим перпендикуляр BM на прямую m . Тогда прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n плоскости α . Поэтому BM α . Значит, AM – ортогональная проекция прямой l на плоскость α , а BAM – угол прямой l1 с этой плоскостью. Так как прямые BM и p перпендикулярны одной и той же плоскости α , то BM || p . Поэтому угол между прямыми p и l равен углу между прямыми l1 и BM , т.е. углу ABM . Из прямоугольного треугольника ABM находим, что

BAM + ABM = 90^o.

Ответ

90^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8196