Задача 87114

Темы:    [ Многогранные углы ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360^o .

Решение

Рассмотрим выпуклый многогранный угол PA1A2 ... A_n с вершиной P . Обозначим его плоские углы A1PA2 , A2PA3 , ..., A_nPA1 через α 1 , α 2 ,..., α _n соответственно. Через точки A1 , A2 , ... A_n ,лежащие на ребрах трёхгранного угла, проведём плоскость. Получим n трёхгранных углов: A1PA2A_n – с вершиной A1 , A2PA1A3 – с вершиной A2 и т.д., A_nPA_n-1A1 – с вершиной A_n . Обозначим углы при вершинах A1 и A2 треугольника A1PA2 через β1 и γ 1 , углы при вершинах A2 и A3 треугольника A2PA3 через β2 и γ 2 , и т.д., углы при вершинах A_n и A1 треугольника A_nPA1 через β _n и γ _n , а углы при вершинах A1 , A2 , ... , A_n выпуклого многоугольника A1A2 ... A_n через ϕ1 , ϕ2 , ... , ϕ _n соответственно. Тогда по теореме о сумме плоских углов трёхгранного угла

β 1 + γ _n > ϕ 1, β 2 + γ 1 > ϕ 2, ..., β _n + γ_n-1 > ϕ _n.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
β 1 + γ _n + β 2 + γ 1 + ... + β _n + γ_n-1 > ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ _n = 180^o(n - 2),
поэтому
α1 + α2 + ... + α_n =

= 180^o- (β1 + γ1) + 180^o - (β2 + γ2) + ... + 180^o - (β _n + γ _n) =

= 180^o· n - (β1 + γ1 + β2 + γ2 + ... + β_n + γ_n) < 180^o· n - 180^o(n - 2) = 360^o.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7434