ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86973
Тема:    [ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Основание пирамиды - параллелограмм ABCD с площадью m2. Известно, что BD перпендикулярно AD. Двугранные углы при ребрах AD и BC равны 45o, а при ребрах AB и CD - 60o. Найдите боковую поверхность и объем пирамиды.


Решение


Пусть P - вершина пирамиды, PH - ее высота. Поскольку двугранные углы при ребрах AD и BC равны, точка H равноудалена от прямых AD и BC, а значит, лежит на средней линии параллелограмма ABCD, параллельной сторонам AD и BC. Аналогично докажем, что точка H лежит на средней линии параллелограмма ABCD, параллельной двум другим его сторонам. Поскольку средние линии параллелограмма пересекаются в его центре, H - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

По условию HD $ \perp$ AD. Тогда по теореме о трех перпендикулярах PD $ \perp$ AD, значит, HDP - линейный угол двугранного угла при ребре AD. Аналогично докажем, что HBP - линейный угол двугранного угла при ребре BC. Поэтому $ \angle$HDP = $ \angle$HBP = 45o.

Пусть PKH - линейный угол при ребре AB. По условию $ \angle$PKH = 60o. Треугольник AHB - ортогональная проекция грани APB на плоскость основания, поэтому

S(APB) = S(AHB)/cos$\displaystyle \angle$PKH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$m2/($\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$m2.

Аналогично находим, что

S(DPC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$m2, S(APD) = S(AHD)/cos 45o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$m2$\displaystyle \sqrt{2}$,

S(BPC) = S(BHC)/cos 45o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$m2$\displaystyle \sqrt{2}$.

Следовательно,

S(APB) + S(DPC) + S(APD) + S(BPC) = m2 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$m2$\displaystyle \sqrt{2}$ = m2(1 + $\displaystyle \sqrt{2}$/2).

Обозначим PH = x, $ \angle$ABD = $ \alpha$. Тогда

BH = DH = PH = x,        KH = PH . ctg$\displaystyle \angle$PKH = x . ctg60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$x$\displaystyle \sqrt{3}$,

sin$\displaystyle \alpha$ = sin$\displaystyle \angle$ABD = KH/BH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$x$\displaystyle \sqrt{3}$/x = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \sqrt{3}$, cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{2/3}$,

tg$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{2}$/2, AD = BD . tg$\displaystyle \alpha$ = 2x . $\displaystyle \sqrt{2}$/2 = x$\displaystyle \sqrt{2}$.

Тогда

S(ABCD) = 2 . S(ABD) = AD . BD = x$\displaystyle \sqrt{2}$ . 2x = 2x2$\displaystyle \sqrt{2}$ = m2,

откуда PH = x = m/$ \sqrt{2\sqrt{2}}$.

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(ABCD) . PH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$m2 . m/$\displaystyle \sqrt{2\sqrt{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$m3/$\displaystyle \sqrt{2\sqrt{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$m3$\displaystyle \sqrt[4]{2}$.


Ответ

m2(1 + 1/$\displaystyle \sqrt{2}$), m3 . $\displaystyle \sqrt[4]{2}$/6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7170

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .